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本案例探讨如何设计敏感问题调查方案，以估计作弊行为的比例，同时保护被调查者隐私。针对涉及个人隐私或利害关系的敏感问题，传统调查易产生偏差。该案例通过让被调查者随机选择问题（包含是否作弊）并匿名回答“是”或“否”，调查者只统计总体的“是”与“否”比例，从而保护个人隐私，鼓励真实回答。案例将探讨两种选答问题类型：选答正反问题和选答无关问题，并分别设计调查方案、建立数学模型并分析结果。

这个模型探讨了一种调查学生作弊行为的方法，通过让学生选择回答两个问题中的一个来提高合作度。问题A是关于作弊行为的敏感问题，问题B是与作弊无关的非敏感问题（例如，出生月份是否为偶数）。学生根据随机规则（例如，抽取扑克牌）选择回答哪个问题，然后用“是”或“否”回答。模型假设学生会真实回答所选问题，并利用全概率公式，根据收回的答卷中“是”和“否”的比例，以及选择问题A和B的概率，来估算学生的作弊概率。该模型还分析了极端情况，并用概率统计的观点，将作弊概率视为一个真值，并给出了一个包含置信水平的区间估计。

这段文字讨论了如何利用概率关系来估算学生作弊的概率。通过分析学生选择回答问题A或B的概率（PA和PB）以及回答“是”的概率（PC），可以推导出作弊概率P的公式。公式成立的前提是PA和PB不能等于1/2。文章验证了两种极端情况：当所有学生都作弊或无人作弊时，模型结果与实际情况一致。进一步分析表明，PC的增加对P的影响取决于PA是否大于1/2：如果PA大于1/2，PC增加则P增加；如果PA小于1/2，PC增加则P反而下降。

调查得到的估计值是一个随机变量，是真值的估计。这个估计值的期望等于学生作弊概率的真值，因此是无偏估计。无偏估计意味着多次调查的平均值会趋近于真值。

这段话主要讨论了调查中估计值P的方差问题。平均值可以看作多次调查的平均值，趋于真值。方差的公式表明，调查人数越多，方差越小，调查精度越高。但如果P值接近0.5，方差会增大，精度降低。虽然P值接近0或1时方差会减小，但会导致大多数人选择同一答案，不利于调查的正常进行。因此，P值既不能太接近0.5，也不能太接近0或1。

这段文字主要讲解了如何用概率统计模型来估计学生作弊的概率。首先建议PA值在0.7到0.8之间。通过一个算例，说明如何利用全概率公式，结合学生回答问题A和问题B的情况，以及事先确定的P0（例如生日月份是偶数的概率），来计算作弊概率的估计值P撇。强调P撇的估计值是真值的无偏估计，并分析了方差与样本数量N和PA的关系：N越大，方差越小，精度越高；PA越大，方差越小，但PA也不能太大，否则调查效果不好。最后又给出一个算例，展示了如何计算作弊行为的比例及其误差范围。

这段文字主要讨论了敏感问题调查中的两种模型：万能模型和Same模型。万能模型存在缺陷，例如正反问题关联以及选答人数比例接近1/2。Same模型通过选择互不相关的敏感问题和非敏感问题来改进这些缺陷。两种模型都基于全概率公式。Same模型需要知道非敏感问题回答“是”的概率P0，P0可以是已知的（通常设计为1/2），也可以是未知的，但需要额外的调查方法。除了这两种模型，还有回答数字的模型，但更为复杂。